Minggu, 21 Oktober 2012

MTK_SMP kelas 8 Semester Ganjil


PERPANGKATAN DALAM BENTUK ALJABAR
A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Perpangkatan Bentuk Aljabar
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.
Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. a5 = a × a × a × a × a
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
               = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2
Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
Contoh Soal :
Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
             = (a + b) (a2 + 2ab + b2)                                  (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
             = a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 )         (menggunakan cara skema)
             = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3              (suku yang sejenis dikelompokkan)
             = a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3               (operasikan suku-suku yang sejenis)           
             = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut.
Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
dan seterusnya.
Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar
1. Pemfaktoran dengan Sifat Distribut
 Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.
Contoh Soal :
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 5ab + 10b           c. –15p2q2 + 10pq
b. 2x – 8x2y            d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3

Jawab:
a. 5ab + 10b
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan
10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.
Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).

b. 2x – 8x2y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x.
Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy).

c. –15p2q2 + 10pq
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq.
Jadi, –15p2q2 + 10pq = 5pq (–3pq + 2).

d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3
Faktor persekutuan dari 1/2 dan 1/4 adalah 1/4.
Faktor persekutuan dari a3b2 adalah a2b3 adalah a2b2.
Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)
2. Selisih Dua Kuadrat
Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
  (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
                         = a2 – b2
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).

Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Contoh Soal :
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. p2 – 4               c. 16 m2 – 9n2
b. 25x2 – y2          d. 20p2 – 5q2
Jawab:
a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2)
b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y)
c. 16m2 – 9n2 = (4m + 3n)(4m – 3n)
d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)
3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
a. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + qx + px + pq
                       = x2 + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
   a. x2 + 5x + 6         b. x2 + 2x – 8
Jawab:
a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)
    Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
    Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6
    dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5.
    Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan
    Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
b. x2 + 2x – 8 = (x + …) (x + …)
    Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.
    Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari
    dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua
    bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan
    –2 + 4 = 2.
    Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)
b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3
                         = 2x2 + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3                (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
                     = (2x2 + x) + (6x + 3)
                     = x(2x + 1) + 3(2x + 1)           (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
                    = (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
  1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
  2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif
Contoh Soal :
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
      a. 2x2 + 11x + 12                     b. 6x2 + 16x + 18
Jawab:
a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12
                              = (2x2 + 3x) + (8x + 12)
                              = x(2x + 3) + 4(2x + 3)
                              = (x + 4)(2x + 3)
     Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).
b. 6x2 + 16x + 8 = 6x2 + 4x + 12x + 8
                           = (6x2 + 4x) + (12x + 8)
                           = 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)
                           = (2x + 4)(3x + 2)
      Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar